有趣的数学


一、数学的爱情

说到爱情,我们脑海里会出现哪些词?纯粹、孤独、陪伴、守护、缘分、奇迹……好多,但难得的是也能感受到数学这个词也和爱情有着千丝万缕的联系。

接下来我要说的这一个数学现象,我想了好久,最终也只能想到用爱情这样一种神奇的力量来解释它,也或许它也正是数学用来描述爱情的曲折的一种方式吧。

这个故事叫孪生质数猜想。它来自数学大树中最纯粹的一个分支,数论。首先我们来感受一下《质数是孤独的》如果我们从最理性的角度去描述这样一个命题:前30个自然数中,有10个质数,33%还不错;前100个自然数中,只有25个了,25%;如果前1亿个自然数呢,比例大概就只有5%了;1亿,在无穷自然数列里什么也算不上,但我们已经能感受到,质数的比例在下降了。还好,质数只是濒危,只要我们往前找,在更远更远的的地方,总是偶有它的身影的。数学上用“平均距离”这样一个概念来衡量质数的孤独,它描述前N个自然数中,质数之间的平均距离,比如N=100时,平均距离恰好就是4,平均隔4步,质数能互相见一面。之所以用平均的,因为质数出现的地方,是无精确的规律可言的。在N的数量级为100时,平均距离到达了230以上。

一个漂亮的结论是,当N无穷大,平均距离是lnN,也是趋于无穷的,虽然是低阶。可以想见,在数轴远一点的地方,质数是多么孤独。

如果我们从感性的角度去想象一下:质数,零星而又无规律的散布于无穷的自然数中,总是被合数夹在中间(2,3除外),却拥有着和身边的数完全不同的个性。就像,合数总是有很多和他们相似的小伙伴,比如所有的偶数都能简单的通过一个2而联系到一起。而质数,只有1和它自己。甚而1也不是质数的一员。格格不入的它,拿什么与身边其他的数建立一点联系与交流?哪怕它是建立起整个自然数体系中最本质的骨干力量,它造就了所有的自然数(任何自然数可以写成质数的积)。就像建立起我们这个社会体系的许多伟人一样,科学,艺术,高处不胜寒,这也是自然数轴的性质。

接下来我却要说,“有的质数是不孤独的”,它们叫“孪生质数”,总是一对一对的出现。就像3和5,9和11, 10016957和10016959,之间只差一个数。它们同质数一样,越来越稀少,而且稀少得更加厉害。但是,它们是成双成对的啊!在茫茫数海中,它们互相陪伴和守护着,它们的命运就是不可分离的。10016959,如果只顾往前寻觅,它得走多远才能找到一个与他相似,一个有着相同个性的她?幸运的是,他只需要回头一步,就有10016957在其身后,静静的守候着。

而她的身后,也是无穷无尽的孤独。

想一想,是什么样一种力量使得这种缘分得以生长,造就这样珍稀的守候?无从知晓。也许当我们也寻觅和经历过好多好多的孤独过后,暮然回首,发现灵魂伴侣就在一步之遥的身边,那时也就只能说,这就是爱情才能创造的奇迹吧。

对了,这个故事,只是一个猜想。所以它叫孪生质数猜想。至今没有一个得到普遍认可的证明,证明孪生质数总是在自然数轴更远的地方存在。就像我们永远也无法捉摸,爱情在时间轴上是否也总是存在的。但是,我们都总是愿意相信,她们都永远是存在的,不是么?

那我再讲一个笛卡尔与心形线的故事:

笛卡尔于1596年出生在法国,欧洲大陆爆发黑死病时他流浪到瑞典,认识了瑞典一个小公国18岁的小公主克里斯蒂娜(Kristina),后成为她的数学老师,日日相处使他们彼此产生爱慕之心,公主的父亲国王知道了后勃然大怒,下令将笛卡尔处死,后因女儿求情将其流放回法国,克里斯汀公主也被父亲软禁起来。笛卡尔回法国后不久便染上黑死病,他日日给公主写信,因被国王拦截,克里斯汀一直没收到笛卡尔的信。笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了,这第十三封信内容只有短短的一个公式:r=a(1-sinθ)。国王看不懂,觉得他们俩之间并不是总是说情话的,大发慈悲就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀,公主看到后,立即明了恋人的意图,她马上着手把方程的图形画出来,看到图形,她开心极了,她知道恋人仍然爱着她,原来方程的图形是一颗心的形状。公主在纸上建立了极坐标系,用笔在上面描下方程的点,看到了方程所表示的心脏线,理解了笛卡尔对自己的深深爱意。这也就是著名的“心形线”。国王死后,克里斯蒂娜登基,立即派人在欧洲四处寻找心上人,无奈斯人已故,先她走一步了,徒留她孤零零在人间……

据说这封享誉世界的另类情书还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。

二、让自己喜欢数学

什么是数学?它是一种方法、一门艺术或说是一种语言;为什么会产生数学?这是因为有需要才产生了数学;那数学又有什么用处呢?最初的数学是用来计数,用来分隔田地,它带有着实用主义,可现在人们普遍用数学进行数据分析,计算,推导和证明,提供自然现象和数学模型,是现代技术发展的基础,是人们生活、劳动和学习必不可少的工具。今天想和大家探讨的一个问题,怎么让自己喜欢上数学呢?

数学不是实用主义,也不是因为有需求才产生。它既是来源于生活,又是来源于心灵。很多人说没法爱上数学,这是因为你对于数学的了解太少了。就好像女孩子,有些女孩子是一见就让人倾心的,而有些女孩子是更有深度更加含蓄所以要多相处你才能知道她有多好。你现在不喜欢数学的理由,就如同只是远远地望了这姑娘一眼,就开始抱怨说怎么现在的姑娘都没法让我爱上呢?

我是一个纯理科生,但在我看来高中数学的那点知识,就算是分个田地都很困难的,这个阶段的数学知识太浅了,离着追求数学美感还太遥远了;本科学到的数学基本已经接近了数学知识的文艺复兴时代,可以看到一些令人激动的东西了;研究生的时候学到的数学才真正让人感到根本停不下来,但是其实这些知识离着前沿还是很遥远的。我感觉学数学就如同追女神一样,如果你追两步就嫌累放弃了,那你也就只能在原地吃灰抱怨她也就是一绿茶;努努力的话拼命跑两步还能看到女神的车尾灯,这时候就感觉洒家这辈子值了。

喜欢上数学,是需要一个很好的老师吗?是出于你对它的兴趣吗?是可以让你追到自己心怡的女神?是提升自己能力的门槛吗?这些原因都有,不可否认,因为我就是这样喜欢上了数学。很好的老师,我怀疑我曾经的数学老师只有吹牛的时候才想起来说数学很漂亮,只有你喜欢数学,你的学生才会有更大的几率喜欢数学。出题的人,想考的点无非是概念,计算方法。围着出题人转,这幸福吗?可是概念,计算方法都是以前那些非常厉害的学者构造的,这是前人智慧的光辉顶点啊!想想微积分是100年前的尖端科技,这不幸福吗?

在我心里,我认为数学最美的不是题,反而我所喜欢的是那些定义的构造、能化繁为简的定理。你改改定义,条件,会发现这些条条框框多一个字少一个字都是不行,紧密的结合在一起,学微分方程的时候你会满脑子问号,但看看实变函数和线性代数,你忽然就会发现,其实这些条件和解法都是从证明中得来的,就会感觉很快乐。数学学到发现inner product的时候,就惊奇的发现这玩意居然是积分!妈的!!!学抽等代数的时候你发现加减乘除都是一种“运算”啊~学多了多问自己几个为什么,找到答案才有了兴趣。

三、高数的源起

很久很久以前,在拉格朗日照耀下,有几座城:分别是常微分方城和偏微分方城这两座兄弟城,还有数理方程、随机过城。从这几座城里流出了几条溪,比较著名的有:柯溪、数学分溪、泛函分溪、回归分溪、时间序列分溪等。其中某几条溪和支流汇聚在一起,形成了解析几河、微分几河、黎曼几河三条大河。河边有座古老的海森堡,里面生活着亥霍母子,穿着德布罗衣、卢瑟服、门捷列服,这样就不会被开尔蚊骚扰,被河里的薛定鳄咬伤。城堡门口两边摆放着牛墩和道尔墩,出去便是鲍林。鲍林里面的树非常多:有高等代树、抽象代树、线性代树、实变函树、复变函树、数值代树等,还有长满了傅立叶,开满了范德花的级树…人们专门在这些树边放了许多的盖(概)桶,高桶,这是用来放尸体的,因为,挂在上面的人,太多了,太多了…

这些人死后就葬在微积坟,坟的后面是一片广阔的麦克劳林,林子里有一只费马,它喜欢在柯溪喝水,溪里撒着用高丝做成的ε-网,有时可以捕捉到二次剩鱼。后来,芬斯勒几河改道,几河不能同调,工程师李群不得不微分流形,调河分溪。几河分溪以后,水量大涨,建了个测渡也没有效果,还是挂了很多人,连非交换代树都挂满了,不得不弄到动力系桶里扔掉。有些人不想挂在树上,索性投入了数值逼井(近)。结果投井的人发现井下生活着线性回龟和非线性回龟两种龟:前一种最为常见的是简单线性回龟和多元线性回龟,它们都喜欢吃最小二橙。

柯溪经过不等市,渐近县和极县,这里房子的屋顶都是用伽罗瓦盖的,人们的主食是无穷小粮。极县旁有一座道观叫线性无观,线性无观里有很多道士叫做多项士,道长比较二,也叫二项士。线性无观旁有一座庙叫做香寺,长老叫做满志,排出咀阵,守卫着一座塔方。一天二项士拎着马尔可夫链来踢馆,满志曰:“正定!正定!吾级数太低,愿以郑太求和,道友合同否?”二项士惊呼:“特真值啊!”立退。不料满志此人置信度太低,不以郑太求和,却要郑太回归。二项式大怒在密度函树下展开标准分布,布里包了两个钗钗,分别是标准钗和方钗。满志见状央(鞅)求饶命。二项式将其关到希尔伯特空间,命巴纳赫看守。后来,巴纳赫让其付饭钱,满志念已缴钱便贪多吃,结果在无参树下被噎死(贝叶斯)。


文章作者: Hoganbin
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