实分析与拓扑学心得


一、 拓扑学

它解释什么叫连续,是代数几何的高度融合,是复杂空间(凸空间,$CW$复形,流形)上的简单函数(连续函数,或者连续函数商去同伦类)。主要研究连续变化中某些保持不变的现象,抹掉距离概念的位置关系,几何的进一步抽象。这就是拓扑,一个保持开集结构不变理论的家伙。

二、实变函数

​ 它解释什么是体积,是完备的积分理论的建立,是简单空间(欧式,拓扑群)上的复杂函数(可测函数商去几乎处处相等等价类)。 主要研究测度和有限维函数空间,无穷多个奇点的函数怎么积分。是一门更加严密的“微积分”和放宽条件的“微积分”,正所谓实分析!

三、泛函分析

它解释如何在线性空间上做分析学,是拓扑空间特例(赋范线性空间)上的映射,是函数空间(由函数组成的线性空间,例如连续函数空间和LP空间)的结构,叙述了无穷维的线性空间和矩阵是什么样子。主要研究关于函数的问题,比如函数方程解的存在性,唯一性,fourier系数性质等,如果函数空间上有内积,则线性代数就有参与。针对泛函分析的核心概念本质上就是距离,是赋范空间和无穷维空间的融合。

一句话概括三者之间的联系:“拓扑学好比显微镜,实分析形如肉眼,而泛函分析似如高架的望远镜”。


文章作者: Hoganbin
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