复分析学习心得


一、复变函数


对于复变函数,我们并不是十分的陌生,至少对于复数,我们还是有所耳闻,在高中时代,一些选修课本就介绍过复数的基本知识,比如复数的四则运算。到了大学,在我们学完微积分知识后,再打开复变函数的内容,我们多少都会觉得有那么一些亲切,是的,前几章的极限知识,导数知识,级数知识,这都是我们在微积分里接触过的领域,所以对于概念上的消化和理解,我们还是可以很好地解决。但复变函数也有其独特的地方——比如解析函数,其地位相当于实变函数中的可微性;柯西积分以及高阶导数公式,显然不同于我们在微积分学的定积分,我们的牛顿—莱布尼茨公式到这里也不得不捉襟见肘了;然后是洛朗级数,这是复变函数级数一章的特色,在微积分中,这是我们从未接触过的级数;其次就是留数,我个人认为,学了复变函数,没有学会留数的知识,那就相当于去了北京没去过长城一样,留数是复变的三大特色之一(三大特色:洛朗级数,留数,保形映射 ),而且,对于解决一些用微积分方法很难解决的广义积分,留数却可以迎刃而解;最后,就是保形映射,这是整个复变函数的精华所在,想象一下,一个图形从一个坐标系映射到另一个坐标系,许多性质保持不变,比如保角性,保圆形,无论你如何映射,总是有些东西始终保持不变,这有点和布劳威尔的不动点原理很相似——无论你如何往定义域里映射,始终有一个不动点,当然,本质的区别是很大的。但很可惜,由于我们学校的课程进度安排很紧凑,老师不得不把最精华的这一章砍掉了,实属遗憾。

上面的一番$balabala$ ,简单地说了说复变函数其独特之处,接下来我们再细细品味。

1、解析函数

​什么是解析函数?就是区域内处处可微的函数。当年的柯西-黎曼微分方程是提供了可微函数在开集中为全纯函数的充要条件的两个偏微分方程,以柯西和黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。也就是我们现在可以脱口而出的C-R方程(柯西-黎曼条件)——只要函数满足$C-R$方程,那么这个函数就是解析函数。没错,这一点在学过这个章节后我们都知道,我们在做题的过程中,也是这么做的,对于一个函数$f = u(x,y) + iv(x,y)$,只要满足$əu/əx=əv/əy,əu/əy=-əv/əx,$我们就可以断言,这个函数是一个解析函数,同时,满足$C-R$方程也是函数在这一点可微的必要条件,在某点满足$C-R$方程不一定可微,但在某点可微,一定满足$C-R$方程。然而在做题的时候,我们有的时候总是被惯性思维所控制,就是在考察一点的可导性时,由于解析比可导性强,所以我们通常会先考察这一点是否满足$C-R$ 条件,一旦我们算出了结果满足$C-R$方程,我们可以正确地判断,在这一点的确可导,那是否解析呢?这时,有人就会说:当然解析啊,因为满足方程。但事实上,在一点满足$C-R$方程我们并不难断言这一点就是解析的,因为,解析的定义是,在某点可导的同时,在其邻域内也是处处可导的,而如果仅仅是在某点可导,不满足在其邻域内处处可导的话,则在这点根本谈不上解析。因此,当我们考察在在一点是否解析时,不要仅仅因为在一点满足$C-R$方程时,就武断地说,在这点解析。这种例子很多,我们作业本上也有相关题型供大家练习。

2、复积分

复变函数中的积分,究其本质,就是线积分,既然是线积分,我们在学微积分中的曲线积分时,我们可以用曲线的参数方程代入然后换位一元定积分求解,同样,我们仍可以写出曲线的参数方程,带回去求解,但这种做法存在着局限性,就是积分曲线不能太复杂,不然我们很难写出参数方程。最常见的题型就是积分曲线是一条线段或者圆弧。不过,当积分曲线是闭合的时候,而且被积函数在积分曲线所围区域内是解析的,那么会发生什么呢?——很简单,我们可以立马得出结果,积分为0。这一点的证明,很简单,我们不妨设$ f= u + iv , z = x + iy$,那么$dz = dx + idy,∫f(z)dz = ∫(u + iv)·(dx + idy) = ∫(udx - vdy) + i(udy + vdx)$,由于积分曲线是封闭的,所以我们再用格林公式 ,同时再利用上C-R方程,马上就得到了积分为零的结果。因此,我们有了这么一个结论,当积分曲线为简单闭曲线时,如果被积函数是在曲线所围区域上是解析的,那么积分结果就是$0$。这是不是有点像微积分中的路径与积分无关呢?

然后又是柯西积分,即给你一个积分$∫1/(z - z0)dz$,当积分曲线所围区域内包含被积函数的奇点$z0$时,那么这个积分解过就是$2πi$。这是一个很有用的公式。然后在此基础上,我们又有了柯西积分公式和高阶导数公式,而且我们不难发现,柯西积分公式其实就是高阶导数中$0$阶导数的特例。基本上只要我们掌握了这柯西积分,柯西积分公式,以及高阶导数公式,复变函数中大部分的积分问题我们都能够解决。最后,我们还有一个很有用却很容易被遗忘的东西——复合闭路定理。这个定理怎么用呢?我们在做题求积分的时候,肯定遇到做,把一个被积函数裂项,拆分,然后分别用那三个强大的公式去解。而事实上,我们完全可以用复合闭路定理,利用柯西积分公式和高阶导数公式分别求出被积函数在每个奇点的积分,然后加起来就足够了。或许有人说,这两个做法有什么区别吗?很显然,同样都是要算每个奇点的积分,但用复合闭路定理,不用裂项拆分,这很大的减少了计算量,尤其是对于一些幂次很高的函数,裂项拆分或者用待定系数法来裂项,显然要花很多的时间。所以这么一个好玩有趣的定理,不应该被我们遗忘。

3、级数

其实级数这一章节,能有点营养的也就是泰勒级数和洛朗级数了。泰勒级数的展开其实很简单,只要我们微积分基础扎实,还记得那些常用的展开,比如$sinx$的泰勒展开,$cosx$的泰勒展开,$1/(1±x)$的级数展开,$exp(x)$展开,那么这里的泰勒级数我们都可以轻松解决,我们只需要把微积分里的那些展开式当中的$x$都换$z$,$x0$换成$z0$,就ok了,形式上一模一样。而洛朗级数,他很特殊,因为,展开式当中不仅仅有正幂次项,还有负幂次项,但展开其实也很简单,依然是利用我们熟悉的许多泰勒级数来展开洛朗级数,一个洛朗级数可以分成1/z^n的n从1到$∞$的级数和$z^n$的$n$从$0$到$∞$的级数两部分,对每一部分分别用泰勒展开就求出了洛朗级数,但展开的时候一定要注意收敛域,比如这么一道题$1/(1 - z)$,在$1<|z|<2$的圆环内展开洛朗级数,许多人会不加思索的按照$1/(1-x)$的级数公式展开,但注意,$1/(1 - z)$能这么展开的前提是收敛域是$|z|<1$,而题里给的是$1<|Z|<2$,显然不能那么展开,但如果我们把分母里提出一个$z$,变成$-1/(z(1-1/z))$,$|1/z|$满足$<1$的,所以我们对$1/(1 - 1/z)$这一部分展开成1/z的泰勒级数就可以了,这一点我们在做题的时候必须要谨慎。

综上所述,我们知道,洛朗级数的展开,基本都是借助泰勒级数来展开的,但展开的过程中,一定要注意所给的圆环区域是否在收敛圆,否则我们需要做些变换才能展开。

4、留数

首先,先谈一下奇点的几个概念:

①孤立奇点,即在这一点不解析,但在他的去心邻域内处处解析,我们就说这点是孤立奇点,其特点就是在孤立奇点的洛朗级数展开没有负幂次项,以及函数对于这一点的极限是存在的,比如$sinz/z$,显然$z = 0$是孤立奇点,,且有$lim(z→0)sinz/z = 1$,同时,在$0$出洛朗展开是$(1 - z^2/3!+ z^4/5!- ……)$没有负幂次项。这两个特点都是我们用来判断某点是否为孤立奇点的常用手段。

②本性奇点,即函数在这一点的洛朗级数展开式当中,有无数的负幂次项,比如$exp(1/z)$的在0处的展开$(1 + 1/z + 1/(2!z^2)+ 1/(3!z^3)+ ……)$全是$z$的负幂次项,所以,$0$是$exp(1/z)$的本性奇点;另外,当函数对于这一点的极限不存在或者为无穷时,这一点也是本性奇点,显然上述例子$exp(1/z)$在$0$的处的极限不存在。所以,这两个手段都是我们用来判断一个点是否是本性奇点的常用方法。

③极点,当一个函数的在某点$z0$的洛朗展开有有限的负幂次项时,其中负幂次项的幂次的绝对值最大为$m$时,或者该函数可以写成$g(x)/(z - z0)^m$的形式时(注意$g(z0)≠0$),我们就称这一点是该函数的$m$阶极点。极点的概念是很重要的,这是为我们后面算留数而铺垫的基础。

④零点,不恒等于零的解析函数$f(z)$在某点$z0$可以写成$h(z)(z - z0)^m,h(z0)≠0$,那么我们称$z0$是$f$的$m$阶零点,或者,对于$z0$,满足前$m-1$次导数都不等于$0$,而第$m$次导数$=0$,那么$z0$就是$m$阶零点。

⑤极点与零点的关系,简单而言,$f(z)$的$m$阶零点,就是$1/f(z)$的$m$ 阶极点,这一点我们从$g(x)/(z - z0)^m,h(z)(z - z0)^m$这两个关系式不难看出。

说完了这些点点,我们就要说说留数了,留数考察的是对孤立奇点的数值性质,定义$Res[ f(z) , z0]= 1/2πi∫f(z)dz$,利用洛朗级数展开式,显然我们会发现,这个留数正是$1/(z - z0)$这个一次负幂次项的系数,记做c-1$,所以$Res[ f(z) , z0] = c-1$。

如果孤立奇点$z0$是可去极点,那么这点的留数$Res[ f (z) , z0 ] = 0$ ;如果$z0$是一阶极点,则这点的留数$Res[ f(z) , z0 ] = lim(z→z0)(z - z0)f(z)$,或者当$f(z) = P(z)/Q(z)$,且满足$P(z0)≠0,Q(z0)=0,Q’(z0) ≠ 0$,则$Res[ f(z) , z0] = P(z0)/Q’(z0)$(这个方法对于算一阶极点的留数是最为简单的,但要注意$f(z)$的形式);如果$z0$是$m$阶极点,则$Res[ f(z) , z0 ] = lim(z→z0){1/(m - 1)![(z - z0)^m f(z)]^(m)}$。当极点的劫数高于$3$阶的时候,求导就是个复杂事了,这个时候我们往往可以考虑函数的洛朗展开,利用$Res[ f(z) , z0] = c-1$这个关系式来求解留数,往往会很好的简化结题过程。

建立了留数的概念后,我们便可以用来解决许多广义积分的问题,这种题型还是很基础,很容易掌握,通过做几道练习题就足够了。但前提,我们要掌握好留数的计算法则,不然,就会吃亏。

二、积分变换


这一块,包含傅里叶变换和拉普拉斯变换,这是两个很重要的积分变换,也是整本书最难学的一块,性质非常多,概念非常多,比如傅里叶变换中的翻转性质,唯一性质,对称性质,脉冲函数$δ(x)$,广义导数,以及许多不满足绝对可积的条件的一些函数的如何进行傅里叶变换(比如sinz,就是不满足绝对可积,但我们可以用欧拉公式写成$(exp(it) - exp(-it))/2i$,然后利用傅里叶变换的线性性质以及$F[exp(iw0t)] = 2πδ(w - w0)$的公式,从而写出$sinz$的傅里叶变换),能量积分,卷积(卷积又有很多性质)等等,都需要我们去掌握,而掌握这么多概念性质,并且可以很好地运用的最好的办法就是通过做题,只有做题才能锻炼自己,加深对这些概念性质的理解。这些都是后话暂且不提。

以上就是我复变函数这一大块的知识点的$balabala$,个人见解。由于本人水平有限,可能会有些许错误,还望大家指出批评。


文章作者: Hoganbin
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