考研数学竞赛经典例选


摘要:这份竞赛经典例选分两部分,第1部分有8道题,分别考察了同学们对极限、积分、多元函数、多元积分、曲线积分与级数相关问题,难度参差不齐,不过对数学竞赛已经是再适合不过;第2部分题量较多,有24道,考察相对于更加全面,也是对大家在参加数学竞赛的一次综合考评。

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考研数学竞赛经典例选

  • 第一部分

    1. 计算无穷积分: $ \displaystyle\int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 - \cos x } { x } e ^ { -x } \mathrm{d}x$与$\displaystyle\int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \ln x } { x ^ { 2 } + 3 x + 9 } \mathrm{d}x$

    2. 设$f(x)$是二次可微函数,满足$f(0)=1,f’(0)=1$.且对于任意的$x\geq 0$有$f’’(x)-5f’(x)+6f(x) \geq 0$.证明:对$\forall x\geq 0$时,有$f(x)\geq 3e^{2x}-2e^{3x}​$.

    3. 设函数$f(x)$在$\left[ 0,+\infty\right) $上连续且严格单调递增,$f(x)=0,a>0,b>0$,证明:
      ​ $$a b \leq \displaystyle\int _ { 0 } ^ { a } f ( x ) \mathrm{d}x + \displaystyle\int _ { 0 } ^ { b } g ( y ) \mathrm{d}y$$
      其中$g(y)$是$f(x)$的反函数.

    4. 已知$f(t)$在区间$[a,x]$上连续,在点$a$处可导且$f’(a)\ne 0$.设$g(x)$在区间$[a,x]$连续且不变号,并且$g(a)\ne 0$,若$\displaystyle\int _ { a } ^ { x } f ( t ) g ( t ) \mathrm{d}t = f ( \xi )\displaystyle \int _ { a } ^ { x } g ( t ) \mathrm{d}t , \xi \in ( a , b )$,则$\displaystyle\lim _ { x \rightarrow a } \frac { \xi - a } { x - a }$.

    5. 已知函数$f(x)$在$[0,1]$上三阶可导,且$f(0)=-1,f(1)=0,f’(0)=0$.证明:对于任意的$x\in(0,1)$,存在$\xi \in(0,1)$,使得
      ​ $$f ( x ) = - 1 + x ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } ( x - 1 ) } { 6 } f ^ { \prime \prime \prime } ( \xi )$$

    6. 计算二重积分
      ​ $$I = \displaystyle\iint _ { D } \sqrt { \frac { 2 x - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x + 2 } } \mathrm{d}x\mathrm{d} y$$

      其中$D$为$( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 ( y \geq 0 )$,$y\leq x-1$与$y=0$围成的区域.

    7. 设$I _ { n } = \displaystyle\int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin ^ { n } x\mathrm{d}x$,证明:(1). $\displaystyle\lim_{ n\rightarrow \infty }I_{n}=0$. $\quad $ (2).讨论$\displaystyle\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } I _ { n } ^ { a }$的敛散性.

    8. 求和$\displaystyle\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { k } \right) \frac { 1 } { 2 ^ { n } }$

  • 第二部分

    1. 已知$\displaystyle\int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { \sin x } { x } \mathrm{d}x = \frac { \pi } { 2 }$,计算$I = \displaystyle\int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { e ^ { - x } \sin x } { x } \mathrm{d}x$.

    2. 计算积分:$\displaystyle\int _ { 0 } ^ { \pi } x \ln ( \sin x ) \mathrm{d}x$

    3. 设$f(x)$在$[0,1]$连续,满足$f(0)=f(1)=0$,若$f’’(x)$在$(0,1)$内存在,且满足$f ^ { \prime \prime } ( x ) + 2 f ^ { \prime } ( x ) + f ( x ) \geq 0$,证明:$\forall x\in [0,1]$,有$f(x)>0$.

    4. 设$f(x)$在$[0,1]$连续,且$f(x)\geq 0,f ^ { 2 } ( x ) \leq 1 + 2 \displaystyle\int _ { 0 } ^ { x } f ( t )\mathrm{d}t$,对$x\in [0,1]$,证明:$f(x)\leq 1+x$.

    5. 设$f(x)$在$[0,1]$连续,求证:
      ​ $$\displaystyle\lim _ { n \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { n } { n ^ { 2 } x ^ { 2 } + 1 } f ( x ) \mathrm{d} x = \frac { \pi } { 2 } f ( 0 )$$

    6. 设$f(x)$在$[0,1]$连续,求证:
      ​ $$\displaystyle\lim _ { n \rightarrow \infty } n \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { n } f ( x ) \mathrm{d}x$$

    7. 设函数$g(x)$的一阶导数$g’(x)$连续,且$g(0)=0$,对任意的$x$有$\left| g ^ { \prime } ( x ) \right| \leq g ( x ) |$,试证:$g ( x ) \equiv 0$

    8. 证明:积分方程$f ( x , y ) = 1 + \displaystyle\int _ { 0 } ^ { x } \mathrm{d}u \displaystyle\int _ { 0 } ^ { y } f ( u , v )\mathrm{d} v , 0 \leq x \leq 1 , 0 \leq y \leq 1$至多有一个连续解.

    9. 计算$I=\displaystyle\iint_D{\sin}\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}\textrm{d}x\textrm{d}y$,其中$D=\left{\left(x,y\right)\left|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq\pi^2\right.\right}$

    10. 数列${a_{n}}$为正数列,且$\displaystyle\lim _ { n \rightarrow \infty } n \left( \frac { a _ { n } } { a _ { n + 1 } } - 1 \right) = \lambda$,证明:

      (1).若$\lambda<1$,则$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$发散.

      (2).若$\lambda >1$,则$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$收敛.

    11. 设$f\left(r,t\right)=\displaystyle\oint\limits_{x^2+xy+y^2=r^2}{\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{\left(x^2+y^2\right)^t}}$,求极限$\displaystyle\lim_{ r \rightarrow \infty }f(r,t)$.

    12. 求$\displaystyle\lim_{ r \rightarrow \infty }\oint\limits_{x^2+y^2=r^2}{\frac{y\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y}{\left(x^2+xy+y^2\right)^2}}$

    13. 设数列$\left\lbrace x_{n}\right\rbrace $满足$\left| x _ { n + 1 } - x _ { n } \right| \leq 2 ^ { - n } ( n = 1,2 , \cdots )$,证明:$\displaystyle\lim_{ n \rightarrow + \infty }x_{n}$存在.

    14. 证明:级数$\displaystyle\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \displaystyle\sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { m ^ { 2 } n + 2 m n + m n ^ { 2 } }$收敛,并求和.

    15. 设数列$\left\lbrace a_{n}\right\rbrace $使得数列$b _ { n } = p a _ { n } + a _ { n + 1 } ( n\in \mathrm{N}^{+})$收敛,若$|p|<1$,证明:$\left\lbrace a_{n}\right\rbrace $收敛.

    16. 设$f(x)$在$\mathrm{R}$上连续,且$\displaystyle\int _ { - \infty } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm{d}x$存在,证明:
      ​ $$\displaystyle\int _ { - \infty } ^ { + \infty } f \left( x - \frac { 1 } { x } \right) \mathrm{d} x = \displaystyle\int _ { - \infty } ^ { + \infty } f ( x ) \mathrm{d} x$$

    17. 设$f(x)$在$(0,+\infty)$上连续,证明:
      ​ $$\displaystyle\int _ { 1 } ^ { e ^ { 2 } } f \left( \frac { e } { x } + \frac { x } { e } \right) \frac { \ln x } { x } \mathrm{d}x = \displaystyle\int _ { 1 } ^ { e ^ { 2 } } f \left( \frac { e } { x } + \frac { x } { e } \right) \frac { 1 } { x } \mathrm{d}x$$

    18. 设$x _ { 1 } = b , x _ { n + 1 } = x _ { n } ^ { 2 } + ( 1 - 2 a ) x _ { n } + a ^ { 2 } ( n = 1,2,3 \cdots )$,求$a$与$b$满足的条件,使得$\left\lbrace x_{n}\right\rbrace$收敛,并求$\displaystyle\lim _ { n \rightarrow \infty } x _ { n }$.

    19. 设$x _ { n + 1 } = x _ { n } \left( 2 - A x _ { n } \right) , ( n = 0,1,2 \cdots )$,其中$A>0$.确定初始值$x_{0}$,使得$\left\lbrace x_{n}\right\rbrace$收敛.

    20. 对于实数对$(x,y)$,定义数列$\left\lbrace a _ { n } \right\rbrace \text{且} a _ { 0 } = x , a _ { n + 1 } = \displaystyle\frac { a _ { n } ^ { 2 } + y {n}^ { 2 } } { 2 } ( n = 0,1,2 \cdots )$.设区域$D={(x,y)}$使得数列$a{n}$收敛,求$D$的面积.

    21. 对于$m​$个正数$a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } \dots a _ { m }​$,证明:
      ​ $$\displaystyle\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { \sqrt [ n ] { a _ { 1 } } + \sqrt [ n ] { a _ { 2 } } + \ldots + \sqrt [ n ] { a _ { m } } } { m } \right) ^ { n } = \sqrt [ n ] { a _ { 1 } a _ { 2 } \dots a _ { m } }​$$

    22. 对于$m$个正数$a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } \dots a _ { m }$,证明:
      $$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+a_{3}^{n}+…+a_{m}^{n}}{m}\right)^{\frac{1}{n}}=\max\left{a_i\right}\left(i=1,2,\cdots ,m\right) $$

    23. 设函数$f(x)$是区间$[a,b]$上的正值连续函数,试求:
      ​ $$\displaystyle\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { 1 } { b - a } \int _ { a } ^ { b } f ^ { n } ( x ) \mathrm{d}x \right) ^ { \frac { 1 } { n } }$$

    24. 设函数$f(x,y)$是区间$D = [ a , b ] \times [ c , d ]$上的正值连续函数,试求:
      ​ $$\displaystyle\lim _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { 1 } { ( b - a ) ( d- c ) } \iint _ { D } f ^ { n } ( x , y ) \mathrm{d} x \mathrm{d}y \right) ^ { \frac { 1 } { n } }$$


文章作者: Hoganbin
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